Euler y la teoría de grafos

La teoría de grafos se inició gracias a un problema turístico-recreativo que resolvió Leonhard Euler. Dice la historia que en 1736 el eminente matemático se detuvo, en uno de sus viajes, en Königsberg (actual Kaliningrado). Dicha ciudad estaba dividida en cuatro partes, conectadas por siete puentes, al pasar por ella un río.

Una versión simplificada de esta disposición, numerando los puentes y designando con letras cada una de las cuatro áreas urbanas, sería la siguiente:

Respecto al problema de los puentes, Euler escribió: «El problema que, según entiendo, es muy bien conocido, se enuncia así: en la ciudad de Königsberg, en Prusia, hay una isla llamada Kneiphof, rodeada por los dos brazos del río Pregel. Hay siete puentes que cruzan los dos brazos del río. La cuestión consiste en determinar si una persona puede realizar un paseo de tal modo que cruce cada uno de los puentes una sola vez. Se me ha informado de que mientras unos negaban la posibilidad de hacerlo y otros lo dudaban, nadie sostenía que fuese posible realmente.»

La respuesta del propio Euler fue que no era posible y basó su negativa en el siguiente tipo de razonamiento: prescindiendo de la geografía peculiar de la ciudad y su entorno puede trazarse un esquema de la misma mediante cuatro puntos A,B,C,D  (que se correspondan con las cuatro partes de la ciudad), y unir con curvas arbitrarias aquellos puntos conectados en la realidad por puentes:

El problema inicial es, de hecho, equivalente al problema (basado en la figura anterior) según el cual si partiendo de uno de los cuatro puntos puede trazarse un itinerario que englobe todas las curvas una sola vez. Si ello fuese posible el número de líneas por cada punto debería ser par y, en cambio, todos los puntos tienen un número impar de líneas. Por tanto, el problema no tiene solución.

Los puentes de Königsberg fueron destruidos durante la Segunda Guerra Mundial, pero la anécdota, atribuida a Euler, fue el principio de una teoría matemática de gran utilidad y brillantez: la teoría de grafos.

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"Mapas del metro y redes neurona"

 Claudi Alsina

 John Forbes Nash

Nacido el 13 de junio de 1928 en Bluefield, Virginia, Estados Unidos, John Forbes Nash destacó a muy temprana edad por su talento para las matemáticas y fue uno de los diez alumnos de su promoción que fueron premiados con una beca para estudiar en el Instituto de Tecnología de Carnegie, donde se inició en los estudios de ingeniería y de química, antes de decidirse por lo que habría de ser su verdadera vocación: las matemáticas. Su siguiente destino fue la prestigiosa Universidad de Princeton, donde se ganaría la admiración entre sus compañeros con un juego de mesa que años más tarde se comercializaría con el nombre de Hex. La afición de Nash por los juegos formaba parte de sus investigaciones matemáticas. En la década de 1950, la teoría de juegos se había convertido en uno de los campos más apasionantes de las matemáticas. Nash tuvo un papel crucial en el primer estudio experimental que se hizo del «dilema del prisionero», véase el capítulo 5, para luego centrarse en los juegos de suma cero o juegos no cooperativos, en los que los intereses de los jugadores son estrictamente opuestos. Una de sus aportaciones más importantes ha sido el concepto del llamado «equilibrio de Nash», pilar en el que se basaría una nueva teoría económica que en 1994 le valdría la concesión del premio Nobel de Economía. La noción de «equilibrio de Nash» corresponde a una situación en la que las dos partes rivales están de acuerdo con determinada situación del juego o negociación, cuya alteración ofrece desventajas a ambas partes. Es una fase del juego en la que ninguno de los jugadores, si considera que las acciones de su oponente están determinadas, deseará cambiar su propia opción.
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"Von Neumann: la teoría de juegos"

Enrique Gracián Rodríguez

Camilo José Cela, por ejemplo, marqués de Iria Flavia y agente del cuerpo policial de Investigación y Vigilancia del Ministerio de la Gobernación bajo el régimen del Generalísimo Franco, capaz de escribir bajo encargo del dictador general Marcos Pérez Jiménez una novela, "La catira", por la que recibió tres millones de pesetas. Mala en todo sentido, fue publicada en 1955. La propaganda oficial quería contrarrestar la fama de Doña Bárbara, de Rómulo Gallegos, derrocado en 1948 como presidente de Venezuela por un golpe militar que fue parte el propio Pérez Jiménez; pero no se trataba de una sola novela, sino de una serie de seis, según el plan que al fin no se consumó, para crear un lazo cultural entre el nacionalismo bolivariano de Pérez Jiménez y el hispanismo redentor de Franco; todo está muy bien contado en el libro Historia de un encargo: La catira de Camilo José Cela, escrito por Gustavo Guerrero, que le valió el Premio Anagrama de ensayo en 2008. Juan no ve a Cela de un solo lado de su extraña y compleja personalidad, el lado mercenario; también lo enfoca del lado del escritor con poder, capaz de dispensar favores o quitarlos, abrir y cerrar puertas: “siempre hubo gente ayudándole, y él mismo, se sabe, ayudó a muchos; ahí está su libro de cartas con exiliados, a los que les ofrecía el respaldo de su revista Papeles de Son Armadans; ayudó a Francisco Umbral a ganar el Premio Cervantes, y ayudó a José García Nieto a ganar el mismo premio; ayudó a gente a entrar en la Academia, y ayudó a que otra gente no entrara. (...) animado siempre a ofrecer a sus vecinos, a sus fieles, el apoyo que le permitían sus contactos y sus influencias. Y estaba dispuesto, también, a pedir la destitución de aquellos que no le rindieran la pleitesía a la que su larga historia le hacía acreedor… Don Camilo era como una poderosa industria”. 

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Juan de juanes

Sergio Ramírez

 Los números perfectos

Los números perfectos son aquellos en los que la suma de sus divisores propios es exactamente igual al número. El primero es el 6, porque los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3, que suman exactamente 6. Los números perfectos son bonitos y bastante misteriosos: de momento todos los que se conocen son pares. Y nadie sabe si es posible que haya un número perfecto impar —sería un hallazgo maravilloso—, nadie ha encontrado nunca ninguno y nadie ha demostrado que no existan. Tampoco se sabe si existen infinitos números perfectos. De momento se conocen 51 números perfectos, que es exactamente el número de primos de Mersenne. ¿Ese so casualidad? (Ya te digo yo que no.) ¿Están de alguna manera relacionadas estas dos maravillas numéricas? (Ya te digo yo que sí.) La respuesta la tienen dos de los más grandes matemáticos de la historia, Euclides y Euler. Pero primero, ¿qué es un número primo de Mersenne?

Los primos de Mersenne son números primos de la forma 2^p–1, donde p es un número primo. Por ejemplo, si p es el 5, tenemos que 2^5− 1 es 31, que efectivamente es un número primo. Lo chulo del tema es que por mucho que p sea primo, no siempre 2^p−1 lo es; por ejemplo, cuando p es 11 tenemos que 2^11− 1 es 2047, que, como todo el mundo sabe, es 23 por 89, o sea, que no es primo.

Los números de Mersenne nos ofrecen una buena forma de buscar números primos muy grandes: tomamos un número primo p que conozcamos (alguno que sea muy grande), calculamos 2^p−1 (que va a ser bastante más grande que p) y si es primo, ¡BINGO! Hemos encontrado un primo enorme.

El problema, como te puedes imaginar, es comprobar si 2^p−1 es primo o no, ya que puede implicar cálculos complicadísimos. Pero bueno, para eso están los ordenadores y las redes de ordenadores, ¿no? Existe una red mundial llamada GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) que busca primos de Mersenne grandes, y en la que puedes participar con tu ordenador uniéndote a los cálculos a través de este enlace: <www.mersenne.org>. Si resulta que es tu ordenador el que encuentra el próximo primo de Mersenne, puedes llevarte unos cuantos dólares. En concreto, si hallas un primo de Mersenne de más de cien millones de dígitos, te llevas 50000 dólares.

El número primo más grande conocido hasta el momento es un número primo de Mersenne: [2^ (82 589 933)] − 1y tiene más de veinticuatro millones de dígitos, un número enorme. Hasta ahora se conocen 51 primos de Mersenne, y cada uno de ellos se corresponde con un número perfecto: si 2^p− 1 es primo (o sea, si tenemos un primo de Mersenne), entonces [2^ (p−1)] (2^p−1) es un número perfecto. Siempre.
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"Apocalipsis matemático"

Eduardo Sáenz de Cabezón

 Los distractores
Técnicas Narrativas

Para ocultar la línea dramática definitoria del cuento, se utilizan recursos narrativos que llamo distractores y que son parte importante de la construcción de la tensión. Los distractores tienen la función de hacer pensar al lector que el acontecimiento que está por narrarse tiene vertientes dramáticas distintas de la oculta, la central. Su función principal es ir ocultando el verdadero asunto del cuento; no es falsedad, sino una serie de acciones que transcurren dentro de todo cuento sostenido. Juan Bosch dice al respecto: “Cuando el cuentista esconde el hecho a la atención del lector, lo va sustrayendo, frase a frase, de la visión de quien lo lee, pero lo mantiene presente en el fondo de la narración y no lo muestra sino sorpresivamente en las cinco o seis palabras finales del cuento; ha construido el cuento según la mejor tradición del género.”

Para ver cómo operan los distractores, recuerdo el cuento “Este hotel es de respeto”, de Saúl Ibargoyen Islas. El relato comienza cuando un hombre llega a un hotel en la frontera de Uruguay con Brasil; se registra y, ya instalado, pregunta si puede recibir en su cuarto a una mujer. Primer distractor: El lector puede pensar que esa mujer bella tal vez sea su amante y que por ahí va la historia, porque más adelante ella llega y pasa la noche con él. Segundo distractor: Podemos pensar que ambos van a disfrutar de unas vacaciones muy sensuales y prohibidas. Sin embargo, al día siguiente el hombre va al mercado de la población donde se entrevista con otras personas. Tercer distractor: El autor nos da a entender, por el tipo de gente que describe, que puede tratarse de un asunto de contrabando o narcotráfico, ya que el hecho acontece en la frontera. Pero poco a poco nos vamos dando cuenta de que el personaje es un luchador social que llega a organizar una huelga de brazos caídos. Descubrimos, entonces, que en un principio fuimos distraídos a) por la presencia de la mujer, b) por la indefinición de sus propósitos, c) por la manera misteriosa en que el protagonista trató a las personas en el mercado y, finalmente, d) porque uno espera el éxito de la huelga ―cuarto distractor―. Un quinto distractor es que creemos que van a apresar al hombre, pero lo que sucede es una matanza en cuyo saldo se cuenta a la mujer que pasó la noche con él; entonces sabemos que ella es otra luchadora social, que no había tales vacaciones y que lo más probable es que no fueran amantes. El cuento culmina cuando el protagonista huye, herido, pero no sabemos si salvará su vida o morirá (final ambiguo). Este cuento de Ibargoyen contiene unos cinco distractores que ocultan el hecho central, que se aclara sólo hasta el final del relato.

Mientras más distractores contenga el cuento, más eficaz y extenso será, como lo mencioné más arriba. Por lo regular, lo que llamamos cuento brevísimo ―no mayor de media página― se sustenta en un distractor único. Algún autor puede hacernos creer, por ejemplo, que su relato trata de un niño travieso que molesta mucho a su padre, cuando en realidad se trata de una mosca; otro puede distraernos haciéndonos suponer que describe a un hombre muy guapo y sensual, cuando el objeto descrito es un suculento corte de carne.

El distractor es una herramienta que debe proporcionar placer, aunque a veces no esté estrictamente vinculado con el hecho narrado. Cuando un distractor surge en un texto historiográfico es considerado accidente o error. Pero para el cuentista es diferente: el distractor es una forma de definir y orientar la acción: “no hizo esto por hacer esto otro”. Al ser una expectativa anulada, perfila, el distractor enmarca la acción que se cumple.

Del libro: "Después apareció una nave.Recetas para nuevos cuentistas"

Guillermo Samperio

 La aberración estelar

El astrónomo inglés James Bradley (1693-1762) descubrió que la traslación de la Tierra alrededor del Sol afectaba a la posición aparente de las estrellas.

Bradley detectó que las estrellas situadas cerca del polo norte describían a lo largo del año una pequeña elipse, que tenía la misma amplitud para todas ellas. El astrónomo dedujo que este movimiento aparente era debido a que la posición de la estrella cambiaba según la velocidad de la Tierra. El efecto se produce porque la trayectoria de la luz se ve afectada por el movimiento terrestre, y la luz parece venir, parcialmente, del lugar hacia donde nos dirigimos. El fenómeno es análogo a lo que ocurre con las gotas de lluvia cuando vamos andando rápido o corriendo: aunque las gotas caigan verticalmente, vistas por nosotros parecen caer inclinadas y debemos inclinar el paraguas para no mojarnos. La aberración estelar, nombre que recibió el efecto, parecía indicar que la Tierra se movía respecto del éter. La teoría de la relatividad explica claramente el fenómeno. En particular, la regla relativista de adición de velocidades predice exactamente la magnitud del efecto observado.

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"Poincaré: La topología"

Alberto Tomás Pérez Izquierdo

                                          

 Formas de Ascenso de Rey Andújar

Reseña

Datos Generales

Título: Formas del ascenso: Estructura mitológica en Escalera para Electra
Autor: Rey Emmanuel Andújar
Editorial: Isla negra
Año: 2014
Páginas: 140

En Formas Del Ascenso: estructura mitológica en Escalera para Electra, Rey Andújar sumerge al lector en los vericuetos escriturales de los que se vale Aída Cartagena Portalatín  para confeccionar el producto literario que significó Escalera para Electra, novela que resultó finalista en el Concurso Biblioteca Breve de la editorial Seix-Barral, que como bien sostiene Miguel D. Mena, era una especie de Nobel para las letras hispanoamericanas. 

En esta propuesta exegética de Rey Andújar, como bien sostiene Don Andrés L. Mateo, en el pequeño texto que sirve de contraportada, “era en cierto modo esperada, porque son muchos los que no han encontrado un universo de sentidos coherente para valorarla.” En efecto, Escalera para Electra es una novela que exige del lector un cierto bagaje intelectual previo, como el conocimiento de la mitología griega, de la historia dominicana y del psicoanálisis, así como, gran concentración para armar correctamente la trama que se presenta a modo de collage.

En Formas del Ascenso, Andújar pone en contexto toda la obra anterior del paso hacia la narrativa, iniciando por su tiempo en La Poesía Sorprendida (1943 – 1947), movimiento que se dio a conocer bajo la revista de nombre homónimo, y que se desarrolló en los tiempos en que el yugo y la ojeriza trujillista estaba en pleno apogeo; razón por la cual sus integrantes se vieron compelidos a utilizar un lenguaje hermético, y los recursos tropológicos del mismo. Y, como bien sostiene Rey, “(…) ante la precariedad del momento histórico, se busca un sistema que abarque realidad y sueño.”

Luego de decapitada la tiranía, la década (1961-1970) será regida por el caos y la inestabilidad política. Será en este lapsus donde Aída dará el salto hacia la narrativa, pero la revuelta situación social y política —golpe de Estado, guerra civil, intervención norteamericana y pseudo-democracia— llevará a Aída a valerse de la poética de la fragmentación. A lo que Rey sostiene “Esta estrategia teórica ofrece elementos precisos para elaborar en cuanto al paso definitivo de la poesía a la ficción en Cartagena Portalatín.”

En el exergo de Tablero Doce cuentos, de Cartagena Portalatín, la autora utiliza un pequeño texto de Mario Benedetti, el cual reza: ´´el mundo del subdesarrollo (…) debe crear no solo su ética de rebeldía, su moral de justicia, sino también proponer una auto-interpretación de su historia,…´´ de aquí se puede colegir como Escalera para Electra representa una re-construcción de la historia dominicana, donde se ilustran aspectos específicos de nuestra historia, como la intervención norteamericana de 1916 y de 1965, y de otros eventos históricos. Al respecto Andújar sostiene: “Resulta interesante, aunque no insólito, que Aída se haya decidido entonces por esta forma. La narrativa como posibilidad de plantearse vida nueva. (…) Escalera para Electra se escribe bajo el trauma encarnado en las intervenciones norteamericanas de 1916  y 1965.”

Escalera para Electra, se sirve del recurso de la intertextualidad o préstamo literario para recrear el mito de la casa de Atreo. Y de las Electra de los grandes poetas trágicos de la antigua Grecia, toma la de Eurípides. A lo que Rey agrega “A partir de la guerra del Peloponeso, Grecia entra en un proceso de caos y transición,…” Esto representa un paralelismo con el momento histórico dominicano post-tiranicidio. 

Aunque la novela se vale de la tragedia de Eurípides para resaltar la recreación, agrega Andújar “en mucho se aleja del mito”. En efecto, en la Electra de Eurípides, tras cometer el asesinato (Orestes y Electra), los dos matadores, reaparecen en la escena. Pero no traen aire de triunfo, ni el coro los recibe con encomios, lejos de eso. Llegan vacilantes, y caen en un verdadero trance de remordimiento. En cambio, en Escalera Swain y Ramón César, cometen el crimen sin el menor asomo de arrepentimiento, al contrario Swain lo torna más alevoso aún al arrogar un escupitajo al cadáver de Rosaura. Es en este agravante donde a mi entender, reside la intención comunicante de la mocana Cartagena Portalatín.

En esencia, Formas del Ascenso de Rey Andújar, propone la escritura de la novela como una herramienta de vuelo: espacio en donde el mito se recrea y fortalece, exagerando las formas clásicas de la violencia. Y concluyendo junto con Rey, en donde la literatura prevalece en forma de ascenso, elevándose al “lenguaje viviente que es el arte, el amor y la amistad.” Mediante la reescritura del mito, Aída demuestra que escribir es el bello hábito de repetirse y elevarse en los demás.

Ensayo del administrador