Euler y la teoría de grafos

La teoría de grafos se inició gracias a un problema turístico-recreativo que resolvió Leonhard Euler. Dice la historia que en 1736 el eminente matemático se detuvo, en uno de sus viajes, en Königsberg (actual Kaliningrado). Dicha ciudad estaba dividida en cuatro partes, conectadas por siete puentes, al pasar por ella un río.

Una versión simplificada de esta disposición, numerando los puentes y designando con letras cada una de las cuatro áreas urbanas, sería la siguiente:

Respecto al problema de los puentes, Euler escribió: «El problema que, según entiendo, es muy bien conocido, se enuncia así: en la ciudad de Königsberg, en Prusia, hay una isla llamada Kneiphof, rodeada por los dos brazos del río Pregel. Hay siete puentes que cruzan los dos brazos del río. La cuestión consiste en determinar si una persona puede realizar un paseo de tal modo que cruce cada uno de los puentes una sola vez. Se me ha informado de que mientras unos negaban la posibilidad de hacerlo y otros lo dudaban, nadie sostenía que fuese posible realmente.»

La respuesta del propio Euler fue que no era posible y basó su negativa en el siguiente tipo de razonamiento: prescindiendo de la geografía peculiar de la ciudad y su entorno puede trazarse un esquema de la misma mediante cuatro puntos A,B,C,D  (que se correspondan con las cuatro partes de la ciudad), y unir con curvas arbitrarias aquellos puntos conectados en la realidad por puentes:

El problema inicial es, de hecho, equivalente al problema (basado en la figura anterior) según el cual si partiendo de uno de los cuatro puntos puede trazarse un itinerario que englobe todas las curvas una sola vez. Si ello fuese posible el número de líneas por cada punto debería ser par y, en cambio, todos los puntos tienen un número impar de líneas. Por tanto, el problema no tiene solución.

Los puentes de Königsberg fueron destruidos durante la Segunda Guerra Mundial, pero la anécdota, atribuida a Euler, fue el principio de una teoría matemática de gran utilidad y brillantez: la teoría de grafos.

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"Mapas del metro y redes neurona"

 Claudi Alsina

 John Forbes Nash

Nacido el 13 de junio de 1928 en Bluefield, Virginia, Estados Unidos, John Forbes Nash destacó a muy temprana edad por su talento para las matemáticas y fue uno de los diez alumnos de su promoción que fueron premiados con una beca para estudiar en el Instituto de Tecnología de Carnegie, donde se inició en los estudios de ingeniería y de química, antes de decidirse por lo que habría de ser su verdadera vocación: las matemáticas. Su siguiente destino fue la prestigiosa Universidad de Princeton, donde se ganaría la admiración entre sus compañeros con un juego de mesa que años más tarde se comercializaría con el nombre de Hex. La afición de Nash por los juegos formaba parte de sus investigaciones matemáticas. En la década de 1950, la teoría de juegos se había convertido en uno de los campos más apasionantes de las matemáticas. Nash tuvo un papel crucial en el primer estudio experimental que se hizo del «dilema del prisionero», véase el capítulo 5, para luego centrarse en los juegos de suma cero o juegos no cooperativos, en los que los intereses de los jugadores son estrictamente opuestos. Una de sus aportaciones más importantes ha sido el concepto del llamado «equilibrio de Nash», pilar en el que se basaría una nueva teoría económica que en 1994 le valdría la concesión del premio Nobel de Economía. La noción de «equilibrio de Nash» corresponde a una situación en la que las dos partes rivales están de acuerdo con determinada situación del juego o negociación, cuya alteración ofrece desventajas a ambas partes. Es una fase del juego en la que ninguno de los jugadores, si considera que las acciones de su oponente están determinadas, deseará cambiar su propia opción.
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"Von Neumann: la teoría de juegos"

Enrique Gracián Rodríguez

Camilo José Cela, por ejemplo, marqués de Iria Flavia y agente del cuerpo policial de Investigación y Vigilancia del Ministerio de la Gobernación bajo el régimen del Generalísimo Franco, capaz de escribir bajo encargo del dictador general Marcos Pérez Jiménez una novela, "La catira", por la que recibió tres millones de pesetas. Mala en todo sentido, fue publicada en 1955. La propaganda oficial quería contrarrestar la fama de Doña Bárbara, de Rómulo Gallegos, derrocado en 1948 como presidente de Venezuela por un golpe militar que fue parte el propio Pérez Jiménez; pero no se trataba de una sola novela, sino de una serie de seis, según el plan que al fin no se consumó, para crear un lazo cultural entre el nacionalismo bolivariano de Pérez Jiménez y el hispanismo redentor de Franco; todo está muy bien contado en el libro Historia de un encargo: La catira de Camilo José Cela, escrito por Gustavo Guerrero, que le valió el Premio Anagrama de ensayo en 2008. Juan no ve a Cela de un solo lado de su extraña y compleja personalidad, el lado mercenario; también lo enfoca del lado del escritor con poder, capaz de dispensar favores o quitarlos, abrir y cerrar puertas: “siempre hubo gente ayudándole, y él mismo, se sabe, ayudó a muchos; ahí está su libro de cartas con exiliados, a los que les ofrecía el respaldo de su revista Papeles de Son Armadans; ayudó a Francisco Umbral a ganar el Premio Cervantes, y ayudó a José García Nieto a ganar el mismo premio; ayudó a gente a entrar en la Academia, y ayudó a que otra gente no entrara. (...) animado siempre a ofrecer a sus vecinos, a sus fieles, el apoyo que le permitían sus contactos y sus influencias. Y estaba dispuesto, también, a pedir la destitución de aquellos que no le rindieran la pleitesía a la que su larga historia le hacía acreedor… Don Camilo era como una poderosa industria”. 

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Juan de juanes

Sergio Ramírez

 Los números perfectos

Los números perfectos son aquellos en los que la suma de sus divisores propios es exactamente igual al número. El primero es el 6, porque los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3, que suman exactamente 6. Los números perfectos son bonitos y bastante misteriosos: de momento todos los que se conocen son pares. Y nadie sabe si es posible que haya un número perfecto impar —sería un hallazgo maravilloso—, nadie ha encontrado nunca ninguno y nadie ha demostrado que no existan. Tampoco se sabe si existen infinitos números perfectos. De momento se conocen 51 números perfectos, que es exactamente el número de primos de Mersenne. ¿Ese so casualidad? (Ya te digo yo que no.) ¿Están de alguna manera relacionadas estas dos maravillas numéricas? (Ya te digo yo que sí.) La respuesta la tienen dos de los más grandes matemáticos de la historia, Euclides y Euler. Pero primero, ¿qué es un número primo de Mersenne?

Los primos de Mersenne son números primos de la forma 2^p–1, donde p es un número primo. Por ejemplo, si p es el 5, tenemos que 2^5− 1 es 31, que efectivamente es un número primo. Lo chulo del tema es que por mucho que p sea primo, no siempre 2^p−1 lo es; por ejemplo, cuando p es 11 tenemos que 2^11− 1 es 2047, que, como todo el mundo sabe, es 23 por 89, o sea, que no es primo.

Los números de Mersenne nos ofrecen una buena forma de buscar números primos muy grandes: tomamos un número primo p que conozcamos (alguno que sea muy grande), calculamos 2^p−1 (que va a ser bastante más grande que p) y si es primo, ¡BINGO! Hemos encontrado un primo enorme.

El problema, como te puedes imaginar, es comprobar si 2^p−1 es primo o no, ya que puede implicar cálculos complicadísimos. Pero bueno, para eso están los ordenadores y las redes de ordenadores, ¿no? Existe una red mundial llamada GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) que busca primos de Mersenne grandes, y en la que puedes participar con tu ordenador uniéndote a los cálculos a través de este enlace: <www.mersenne.org>. Si resulta que es tu ordenador el que encuentra el próximo primo de Mersenne, puedes llevarte unos cuantos dólares. En concreto, si hallas un primo de Mersenne de más de cien millones de dígitos, te llevas 50000 dólares.

El número primo más grande conocido hasta el momento es un número primo de Mersenne: [2^ (82 589 933)] − 1y tiene más de veinticuatro millones de dígitos, un número enorme. Hasta ahora se conocen 51 primos de Mersenne, y cada uno de ellos se corresponde con un número perfecto: si 2^p− 1 es primo (o sea, si tenemos un primo de Mersenne), entonces [2^ (p−1)] (2^p−1) es un número perfecto. Siempre.
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"Apocalipsis matemático"

Eduardo Sáenz de Cabezón